선형대수 (40) 썸네일형 리스트형 Markov matrices 1. Markov matrix와 Markov chain■ 마르코프 행렬은 마르코프 과정(Markov Process) 또는 마르코프 연쇄(Markov Chain)을 나타내기 위한 것으로 확률적 방법을 기반으로 하는 확률 행렬이며 고윳값의 응용이다.■ 마르크포 프로세스/체인은 상태(State)와 시간(Time)으로 구성된다.- 상태는 예를 들어, 동전 던지기에서 '앞면'과 '뒷면'이 상태가 될 수 있다.- 시간은 이산 시간 또는 연속 시간에서 정의될 수 있다.- 보통 시간이 이산형(=일정한 시간 간격으로 상태가 변화하는 현상을 표현할 때)이면 마르코프 체인- 시간이 연속형으로 나타나면(=시간이 연속적으로 흐르면서 상태가 변화하는 현상을 표현할 때) 마르코프 과정으로 정의한다.■ 마르코프 체인은 무기억성(me.. [개념] 회전변환, 직교 대각화를 이용한 회전변환 1. 회전변환1.1 \( \mathbb{R}^2 \)일 때 회전변환■ 평면(2차원) 위에서 원점을 중심으로 각 \( \theta \)만큼 반시계 방향으로 회전변환을 나타내는 회전행렬(rotation matrix)은 다음과 같다.이러한 회전행렬을 '회전변환의 행렬표현'이라 부르기도 한다. 이는 \( \mathbb{R}^2 \)에서 원점을 중심으로 회전시키는 선형변환(선형사상)과 그 행렬표현으로 볼 수 있기 때문이다.회전시키기 전의 점 \( p \)를 정의역 \( \mathbb{R}^2 \)의 벡터로 생각하고 회전이동된 점 \( p' \)을 공역 \( \mathbb{R}^2 \)의 벡터로 생각하면, 회전이동시키는 변환이 선형변환이라는 것을 알 수 있다. 그래서 이 선형변환(선형사상)을 회전변환이라고 부를 수.. Differential equations 1. 미분의 정의1.1 변화율(증분)■ 다음과 같이 종속변수가 \( y \)이고 독립변수가 \( x \)인 \( y = f(x) \)가 있다고 했을 때, 독립변수 \( x \)의 변화량을 \( x \)의 증분이라 하고 델타 기호를 붙여 \( \Delta x \)로 나타낸다. 그리고 독립변수 \( x \)의 변화량에 따른 종속변수 \( y \)의 변화량을 \( y \)의 증분이라 하고 \( \Delta y \)로 나타낸다. ■ 예를 들어 \( y = f(x) = x^2 \)이라고 할 때, 독립변수 \( x \)의 값이 1에서 3으로 변한다고 하면 \( x \)의 변화량은 2이다. 이 변화량이 \( x \)의 증분 \( \Delta x \)이다. 그리고 \( x \)가 1에서 3으로 변하면 \( y \)의 .. [개념] 대칭행렬의 직교 대각화, 스펙트럼 분해, 2차형식 ■ 여기서 나오는 행렬은 모두 대칭행렬이다.1. 대칭행렬의 직교 대각화(Orthogonal Diagonalization)■ \( P^{-1}AP = D \)를 만족시키는 가역행렬 \( P \)가 행렬 \( A \)의 고유벡터로 이루어진 행렬일 때,\( P^{-1}AP = D \)에서 \( P^TAP = D \)가 성립하면 \( n \times n \)행렬 \( A \)는 직교 대각화가 가능하다.( 또는 \( A = PDP^{-1} \)에서 \( A = PDP^{-1} = PDP^T \)가 성립하면 \( n \times n \)행렬 \( A \)는 직교 대각화가 가능하다.)■ 여기서 \( P \)는 정규직교벡터로 이루어진 직교행렬(orthogonal matrix)이다. 그러므로 \( A \)를 대각화하는 .. Diagonalization and powers of A 1. 행렬의 대각화(Diagonalization)1.1 \( AS = S \Lambda, \; S^{-1} A S = \Lambda \)■ 고유방정식 \( A \mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} \)에서 \( \lambda \)는 고윳값, \( \mathbf{x} \)는 고유벡터이다. ■ 고유방정식은 행렬 \( A \)에 의해 선형변환된 \( A \mathbf{x} \)가 방향은 유지하면서 길이(크기)만 달라지는(즉, 스칼라배가 되는) 특수한 벡터인 고유벡터와 그때 적용되는 스칼라인(길이(크기)의 변화량을 나타내는) 고윳값 \( \lambda \)을 나타낸다. ■ 선형변환은 선형변환의 행렬표현인 \( A \)가 \( \mathbf{x} \)에 적용될 때, 대부분의 벡터는 크기와 방.. [개념] 행렬의 대각화(Diagonalization) 1. 행렬의 대각화1.1 닮은행렬■ 행렬 \( A \)와 \( B \)가 같은 크기의 \( n \times n \) 정사각행렬일 때, \( B = P^{-1}AP \)를 만족시키는 가역행렬 \( P \)가 존재하면, \( A \)와 \( B \)는 서로 닮은(similar)행렬이라고 한다. - \( P \)가 가역행렬이라면, \( P \)는 \( n \)개의 독립 벡터를 가진다.■ \( A \)와 \( B \)가 닮은행렬이라는 것은, 두 행렬이 같은 선형변환의 서로 다른 기저에 대한 행렬 표현임을 의미한다. 그러므로 다음과 같은 성질들을 공유한다.- (1) 행렬식이 같다. \( \det{(A)} = \det{(B)} \)- (2) 계수(rank)가 같다. \( \text{rank} (A) = \text{.. [개념] 고유치, 고윳값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector) 1. 고윳값과 고유벡터1.1 고윳값과 고유벡터란?■ \( A \)가 \( n \times n \)행렬이고, \( \mathbf{v} \)가 \( \mathbb{R}^n \)의 벡터일 때, \( \mathbf{v} \)와 \( A \mathbf{v} \)가 서로의 스칼라배로 관계되는 0이 아닌 어떤 벡터 \( v \)가 존재한다. 이와 같은 벡터 \( \mathbf{v} \)는 선형변환의 해석에서 중요한 역할을 한다.■ 예를 들어 \( T(x, y) = \dfrac{1}{2} (3x + y, x + 3y) \)로 정의된 선형변환 \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \)가 있다고 하자. 그리고 정의역에 \( \mathbb{R}^2 \)의 기저벡터 \( v_1 = (.. [개념] 선형 변환(사상)과 표준행렬 1. 선형 변환(선형 사상)■ 벡터공간 \( U, V \)가 있을 때, \( U \)로부터 \( V \)로의 변환 \( T \)를 \( T: U \rightarrow V \)로 나타낸다. ■ \( T: U \rightarrow V \)는 다음과 같이 벡터공간 \( U \)의 모든 벡터 \( \mathbf{u} \)에 대해 각각 유일한 벡터공간 \( V \)의 모든 벡터 \( \mathbf{v} \)를 대응하는 규칙을 의미한다.■ \( T: U \rightarrow V \)가 임의의 벡터 \( u_1, u_2 \in U \)와 임의의 상수 \( k \)에 대해 다음 조건을 만족하면, \( T \)를 \( U \)에서 \( V \)로 가는 선형사상 또는 선형변환이라고 한다.- ① \( T(u_1+u_2) =.. 이전 1 2 3 4 5 다음
