[개념] 선형 변환(사상)과 표준행렬

1. 선형 변환(선형 사상)

■ 벡터공간 \( U, V \)가 있을 때, \( U \)로부터 \( V \)로의 변환 \( T \)를 \( T: U \rightarrow V \)로 나타낸다.

■ \( T: U \rightarrow V \)는 다음과 같이 벡터공간 \( U \)의 모든 벡터 \( \mathbf{u} \)에 대해 각각 유일한 벡터공간 \( V \)의 모든 벡터 \( \mathbf{v} \)를 대응하는 규칙을 의미한다.

■ \( T: U \rightarrow V \)가 임의의 벡터 \( u_1, u_2 \in U \)와 임의의 상수 \( k \)에 대해 다음 조건을 만족하면, \( T \)를 \( U \)에서 \( V \)로 가는 선형사상 또는 선형변환이라고 한다.

- ① \( T(u_1+u_2) = T(u_1) + T(u_2), \quad u_1, u_2 \in U \)

- 뺄셈에 대해서도 성립한다. \( T(u_1-u_2) = T(u_1) - T(u_2) \)

- ② \( T(ku_1) = k T(u_1), \quad u_1 \in U \), \( k \)는 스칼라

- ③ \( T(0) = 0 \)

- \( T( \mathbf{u} ) = 0 \)으로 정의하면, \( T(u_1 + u_2) = T(0 + 0) = T(0) + T(0) \Rightarrow T(0) = T(0) + T(0) \Rightarrow 0 = T(0) \)이므로 선형변환이 된다. 이러한 선형변환(사상)을 영사상이라고 한다.

- ③이 의미하는 것은 '반드시 원점은 원점에 대응이 된다.' 또는 '선형변환은 영벡터를 영벡터로 사상한다.' 

■ 이렇게 벡터공간의 덧셈과 상수배를 보존하는 함수를 선형사상 또는 선형변환이라고 한다.

■ 선형(=일차)변환(=함수)의 대표적인 예는 일차함수이다.

- 예를 들어 \( T(x) = ax + b \)라고 하자. 이때 \( T(0) = 0 \)이어야 하므로 \( b = 0 \)이 되어야 한다.

- 그러면 \( T(x) = ax \)이다. 이 형태는 원점을 지나가는 일차함수이다. 즉, 원점을 지나가는 일차함수가 선형변환의 가장 대표적인 예이다.

- 반면, 이차함수는 선형변환이 될 수 없다. 예를 들어 \( T(x) = ax^2 \)은, 조건 ① \( T(u_1+u_2) = T(u_1) + T(u_2) \)을 만족하지 않는다. 

- \( T(u_1 + u_2) = a(u_1 +u_2)^2 \neq au^2_1 + au^2_2 \Leftrightarrow T(u_1) + T(u_2) \)

- 따라서 선형변환은 반드시 원점을 지나가는 일차함수에서만 가능하다.

■ 예를 들어, 선형변환이 \( T(x) = ax = y \)로 원점을 지나가는 일차함수라고 하자. 그러면

- 다음과 같이 1차원에서 1차원으로 선형변환은 다음과 같다. (1차원이므로 성분은 1개)

- 1차원에서 1차원으로의 선형변환을 \( T(x) = ax \)로 두면, 다음과 같이 선형변환이 될 조건 3가지를 만족하는 것을 확인할 수 있다.

- 다음은 1차원(성분 1개)에서 2차원(성분 2개)으로의 선형변환이다. 이때의 선형변환은 \( T(x) = (ax, bx) \)이 되어야 한다.

- 선형변환은 반드시 원점을 지나는 일차식으로 표현이 되어야 하므로, \( x \)로 \( y \)를 만들어야 하고, \( x \)로 \( z \)도 만들어야 한다. 

- 1차원에서 2차원으로의 선형변환을 \( T(x) = (ax, bx) \)로 두면, 다음과 같이 선형변환이 될 조건 3가지를 만족하는 것을 확인할 수 있다.

- 단, 일차식만 가능하므로 \( y \)를 \( ax \), \( z \)를 \( bx \)로 둔다. \( y = ax, \; z = bx \)

- 다음은 2차원(성분 2개)에서 1차원(성분 1개)으로의 선형변환이다. 이때의 선형변환은 \( T(x, y) = ax + by \)이 되어야 한다. \( ax + by \)의 형태가 2개의 성분으로 1개의 성분을 만드는 일차식이기 때문이다. 

- 2차원에서 1차원으로의 선형변환을 \( T(x) = ax \)로 두면, 다음과 같이 선형변환이 될 조건 3가지를 만족하는 것을 확인할 수 있다.

- 다음은 2차원(성분 2개)에서 2차원(성분 2개)으로의 선형변환이다. 이때의 선형변환은 \( T(x, y) = (ax + by, cx + dy) \)가 되어야 한다.

- \( (x, y) \)를 \( T \)에 넣어서 \( (z, w) \)에 대응(선형변환)시켜야 한다. 

- 선형변환은 원점을 지나가는 일차식의 결합도 가능하다. 즉, \( x \)와 \( y \)로 \( z \)를, \( x \)와 \( y \)로 \( w \)를 만들면 된다.

■ 예를 들어, 벡터공간 \( \mathbb{R}^2 \)에서 \( \mathbb{R}^3 \)로 가는 함수 \( f \)가 \( \mathbb{R}^2 \)의 임의의 벡터 \( \mathbf{a}, \mathbf{b} \)와 임의의 실수 \( k \)에 대해, 다음과 같은 선형변환의 조건을 만족한다고 하자.

- \( f( \mathbf{a} + \mathbf{b} ) = f( \mathbf{a} ) + f( \mathbf{b} ) \)

- \( f( k \mathbf{a} ) = k \cdot f( \mathbf{a} ) \)

- \( f(0) = 0 \)

■ 이때, 두 벡터 \( \mathbf{a}, \mathbf{b} \)가 \( \mathbb{R}^2 \)의 표준기저 \( e_1 = (1, 0), \; e_2 = (0, 1) \)라면, 두 벡터에 대한 함수값 \( f(1, 0), f(0, 1) \)은 \( \mathbb{R}^3 \)의 벡터와 대응되므로 \( f(1, 0) = (a_1, a_2, a_3), L(0, 1) = (b_1, b_2, b_3) \)와 같은 형태가 된다.

■ 위의 예시에서 선형사상의 조건①, ②를 이용하면 임의의 스칼라 \( k_1, k_2 \)에 대해 \( T(k_1 x + k_2 y) = k_1 T(x) + k_2 T(y) \)가 성립함을 확인할 수 있다.

■ \( T(k_1 x + k_2 y) = k_1 T(x) + k_2 T(y) \)임을 이용하면, 이 예시에서 \( f(x, y) = x L(1, 0) + y L(0, 1) \)이 성립하고, 식을 전개하면

■ \( f(x, y) = x f(1, 0) + y f(0, 1) = x(a_1, a_2, a_3) + y(b_1, b_2, b_3) = (a_1 x + b_1 y, \; a_2 x + b_2 y, \; a_3 x + b_3 y) \)가 성립한다. 이를 통해 \( \mathbb{R}^2 \)에서 \( \mathbb{R}^3 \)로 가는 선형사상 \( f \)의 형태는 \( f(x, y) = (a_1 x + b_1 y, \; a_2 x + b_2 y, \; a_3 x + b_3 y) \)임을 알 수 있다.

■ 원점을 지나는 직선에 대해 대칭이동시키는 변환도 선형변환이 된다.

■ 예를 들어, 좌표평면에서는 두 벡터의 합으로 평행사변형을 만들 수 있다. 그리고 평행사변형을 직선에 대해 대칭이동시켜도 평행사변형이 된다.

■ 이때, 두 벡터의 합으로 만든 평행사변형을 원점을 지나는 직선에 대해 대칭이동을 시키면, 원점이 원점으로 옮겨지므로 대칭이동된 평행사변형도 원점을 지나는 평행사변형이 된다.

■ 이 상황을 그림으로 나타내면 다음과 같다. 그리고 \( T(0) = 0, \; T(u + v) = T(u) + T(v), \; T(kv) = kT(v) \)가 성립한다. 이렇게 되는 이유는 '원점을 지나는 직선 \( y = ax \)'에 있다.

■ 하지만, 원점을 지나가지 않는 직선 \( y = ax + b, \; b \neq 0 \)에 평행사변형을 대응시키면 \( T(u +v) \neq T(u) + T(v) \)이므로 원점을 지나가지 않는 직선은 선형변환이 될 수 없다.

■ 위의 그림을 보면, 벡터공간 \( \mathbb{R}^2 \)에서 벡터 \( u \)와 \( v \)의 선형결합인 \( u + v \)가 선형변환을 통해 벡터공간 \( \mathbb{R}^2 \)에서 \( T(u+v) \)로 보존되는 것을 볼 수 있다.

■ 즉, 선형변환은 선형결합을 보존하는 두 벡터 공간 사이의 함수로 볼 수 있다. 

- 이 예에서 선형변환은 \( y = ax \)

 

2. 표준행렬: \( \mathbb{R}^n \)에서 \( \mathbb{R}^m \)에 대한 선형변환의 표준행렬

■ \( \mathbb{R}^n \)으로부터 \( \mathbb{R}^m \)으로의 선형변환을 \( T \)라고 하자. \( T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \)

■ 그리고 \( \mathbb{R}^n \)의 벡터를 다음과 같다고 하자. 

\( e_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \quad e_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \cdots, \quad e_n = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}, \quad u = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \) 

■ 이때, \( u = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n \)로 표현할 수 있다.

■ \( T \)는 선형변환이므로 \( T(u) = T(a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n) = a_1 T(e_1) + a_2 T(e_2) + \cdots + a_n T(e_n) = \begin{bmatrix} T(e_1) & T(e_2) & \cdots & T(e_n) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} \)

■ 이렇게 선형변환 \( T \)는 행렬 \( \begin{bmatrix} T(e_1) & T(e_2) & \cdots & T(e_n) \end{bmatrix} \)로 정의된다. 이 행렬을 \( A \)라고 하면, \( A \)를 \( T \)의 표준행렬이라고 한다.

■ 간단하게 보면, \( \mathbb{R}^n \)의 벡터가 \( \mathbf{v} = (x_1, \; x_2,\; \cdots, \; x_n) \)이고 \( \mathbb{R}^m \)의 벡터가 \( \mathbf{w} = (y_1, \; y_2,\; \cdots, \; y_m) \)이라고 하자. 이때의 \( T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \)는 다음과 같다.

■ 여기서 \( T(\mathbf{v}) = \mathbf{w} \)로 대응되어야 한다. 

■ \( T(\mathbf{v}) = \mathbf{w} \Leftrightarrow T(x_1, \; x_2, \; cdots, \; x_n) = (y_1, \; y_2, \; \cdots, \; y_m) \)이 되어야 한다. 이때 벡터 \( \mathbf{w} \)로 대응시키는 \( T \)가 행렬 \( A \)로 정의될 때, 행렬 \( A \)를 \( T \)의 표준행렬이라고 한다. 이때, \( A \)는 \( m \times n \)행렬이 된다.

- 크기가 \( n \)인 벡터와 곱을 통해 크기가 \( m \)인 벡터를 만들어야 하므로, 행렬의 크기는 \( m \times n \)이 되어야 한다.

■ 예를 들어, 다음과 같이 \( \mathbb{R}^2 \)에서 \( \mathbb{R}^2 \)로 벡터 \( v \)를 벡터 \( w \)에 대응시키는 선형변환이 \( T(x, y) = (x + 3y, 2x + 6y) \)라고 하자.

■ \( T(x, y) = (x + 3y, 2x + 6y) = (a, b) \)를 행렬 형태로 표현하면 다음과 같이 \( A \mathbf{x} = b \) 형태가 된다.

\( T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 3y \\ 2x+6y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \Leftrightarrow T(x, y) = \begin{pmatrix} x + 3y \\ 2x + 6y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \)

여기서 \( \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \)가 바로 표준행렬이다.

■ 이때, 표준행렬의 열벡터를 다음과 같이 \( v_1, v_2 \)라고 할 때,

■ 위의 과정을 다음과 같이, 표준행렬 열벡터 \( v_1, v_2 \)의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 즉, 표준행렬 \( A \)의 열벡터가 \( \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \)를 생성한다고 볼 수 있다.

■ 그리고 \( T(x, y) = (a, b) \)에서 \( (x y) \)가 치역, \( (a, b) \)가 정의역이라는 점을 생각하면, 열벡터가 생성한 공간은 열공간이므로 열공간 = 치역이 된다. 

■ 정리하면, \( A \)의 열공간 = \( A^T \)의 행공간은 치역과 같다. 그러므로 치역의 차원 = 열공간의 차원 = \( \text{rank} A \)가 성립한다.

■ 또한, \( A^T \text{ 의 행공간} = \text{ 치역} \)인데, \( A^T \)의 행공간과 수직하는 공간은 \( A^T \)의 영공간이다.

그러므로 \( (A^T \text{ 의 행공간})^{\perp} = ( \text{ 치역})^{\perp} \Leftrightarrow \) '\( A^T \)의 영공간 = 치역의 수직인 공간'이 성립한다.

 

3. 핵(kernel), 상(image)과 차원

■ 선형사상 \( T: V \rightarrow W \)에서 \( T \)는 \( V \)에서 \( W \)로 가는 함수이다. 그러므로 정의역과 공역 그리고 치역(상)이 존재한다.

■ \( T: V \rightarrow W \)에서 \( T \)가 0으로 사상하는 \( V \)의 벡터집합 \( \left\{ \mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v})=0 \right\} \)을 \( T \)의 핵 또는 퇴화(kernel, nullspace)라고 하며 \( \text{Ker} T \)로 나타낸다. \( \text{ker}T = \left\{ \mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v})=0 \right\} \)

■ \( V \)의 적어도 하나의 벡터의 \( T \)에 의한 상인 \( W \)의 모든 벡터 집합을 \( T \)의 상(image, range)라고 하며, \( \text{Im} T \)로 나타낸다. \( \text{Im}T = \left\{ T(\mathbf{v}) \in W \mid \mathbf{v} \in V \right\} \)

■ 그리고 \( T \)의 상(image, range)의 차원을 \( T \)의 계수(rank)라고 하고 \( \text{dim} \left( \text{Im} T \right) \) 또는 \( \text{rank} (T) \)로 표시한다. 

■ \( T \)의 핵(kernel, nullspace)의 차원을 \( T \)의 퇴화차수(nullity)라 하고 \( \text{dim} \left( \text{Ker} T \right) \) 또는 \( \text{nullity} (T) \)로 표시한다. 

■ 정의역은 함수가 정의된 영역. 즉, 함수에 입력되는 인자가 모인 집합. 공역은 정의역에 대응하는 영역. 치역은 함수에 정의역을 입력해서 나온 값의 범위이다.

■ 즉, 정의역을 함수의 input이라고 생각하면, 공역은 함수에 input을 넣었을 때, 예상되는 함수값들을 모아놓은 것. 치역은 함수에 정의역을 넣었을 때, 실제로 나온 것이라고 생각할 수 있다.

■ 핵(kernel, nullspace)는 정의역에, 상(image, range)는 공역에 위치하는 것을 볼 수 있다.

■ 선형변환이므로 원점에 대응이 되어야 한다. 그러므로 핵공간인 \( \text{Ker} T \)에는 0이 존재해야 한다.

■ 선형대수에서는 input을 넣었을 때, 0이 되는 것들을 모아 놓은 공간을 영공간(해공간)이라고 한다. 그러므로 핵공간 = 영공간(해공간)

■ 예를 들어 다음과 같은 선형변환 \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \), \( T(x, y) = (x-y, 2x-2y) \)가 있을 때,

■ 영공간은 \( (x-y, 2x-2y) = (0, 0) \)으로, 치역은 \( (x-y, 2x-2y) = (a, b) \)로 찾을 수 있다.

■ 정의역이 \( xy \)평면, 공역이 \( ab \)평면에 있다고 하면, 선형변환 \( T \)를 통해 핵공간(영곤간)인 \( y = x \)는 다음과 같이 치역 \( b = 2a \)에 대응된다.

■ 예를 들어, \( (x, y) = k(1, 1), \; k = 1, 2, 3, \cdots \)라고 하자. 

■ 정의역에 있는 핵공간에 \( y = x \)에 \( (x, y) = k(1, 1) \)을 넣으면 선형변환 \( T \)는,

- \( T(x, y) = (k - k, 2k - 2k) = (0, 0) = (a, b) \)가 된다. 즉, 핵공간 \( y = x \)에 있는 모든 점들을 선형변환하면 \( ab \)평면의 원점으로 떨어진다. 

- 이뿐만 아니라 정의역의 모든 원소도 선형변환을 통해 \( b = 2a \)위로 떨어지게 된다. 예를 들어, \( (x, y) = (3, -1) \)은 \( T(3, -1) = (4, 8) \)이므로 \( b = 2a \)에 놓이게 된다.

■ 이 예에서 표준행렬을 구해보면, \( T(x, y) = (x - y, 2x - 2y) = (a, b) \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \)이므로 표준행렬은 \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \)이다.

■ 표준행렬의 열공간은 치역과 같다. 즉, 열벡터가 만들어 내는 공간은 치역과 같다. 

- 이 예에서도 표준행렬의 열벡터인 \( \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)가 스칼라 \( c \)와의 곱 \( c \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)를 통해 \( b = 2a \)라는 치역을 만들 수 있다.

■ 또한 표준행렬 \( A \)의 \( \text{rank} \)를 구해보면, \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)이므로 \( \text{rank} (A) = 1 \)이 된다. 그러므로 이 예에서 치역의 차원은 1차원이라고 할 수 있다.

■ 즉, \( T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m \)에서 치역의 차원은 표준행렬의 \( \text{rank} \)이다.

■ 영공간(핵공간)의 차원은 퇴화차수의 차원정리 \( n = \text{rank} (A) + \text{nullity} (A) \)를 이용하여 확인할 수 있다. 여기서 \( \text{nullity} (A) \)는 영공간(퇴화공간)의 차원, \( \text{rank} (A) \)는 상의 차원, \( n \)은 정의역의 차원이다.

- 이 예에서 영공간은 \( T(x, y) = (x - y, 2x - 2y) = (0, 0) = (a, b) \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)에서 표준행렬을 \( A \), \( (x y)^T \)를 \( \mathbf{v} \), \( (0, 0)^T = \mathbf{0} \)이라고 한다면, \( \mathbf{v} \)가 영공간(해공간, 핵공간)이다.

■ 여기서 \( n \)은 표준행렬 \( A \)의 열의 개수 = 미지수의 개수이다.

■ 그리고 미지수의 개수는 정의역의 차원인 \( \mathbb{R}^n \)이므로, \( n = \text{rank} (A) + \text{nullity} (A) \)에서 \( n \)은 정의역의 차원이다.

- 이 예에서는 \( T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \)이므로 

- \( \text{nullity} (A) = n - \text{rank} (A) = 2 - 1 = 1 \)이다. 그러므로 영공간은 1차원이다.

■ \( A \mathbf{x} = b \)에서 \( A \)를 표준행렬이라고 하면, 우변 \( b \)는 치역에 있는 벡터이다. 이때, 표준행렬 \( A \)의 열공간은 치역의 공간과 같다.

■ \( A \)의 열벡터들이 만드는 공간이 열공간이므로 치역의 공간에 있는 \( b \)는 \( A \)의 열공간에 존재해야 하며, 이는 \( b \)가 표준행렬 \( A \)의 열벡터들에 의해 생성된다는 것을 의미한다. 

■ \( A \)의 열공간과 치역의 공간이 같다는 것은 열공간의 차원과 치역의 차원이 동일하다는 것으로 생각할 수 있다. 그러므로,  계수행렬인 표준행렬과 \( b \)가 합쳐진 확대행렬의 계수와 표준행렬의 계수가 같아야 한다. \( \text{rank} (A) = \text{rank} (A \mid b) \)

■ 이때, \( \text{rank} (A) = \text{rank} (A \mid b) \)는 선형방정식에서 '해가 존재한다.'는 조건이다. 그러므로 \( \text{rank} (A) = \text{rank} (A \mid b) \Leftrightarrow \) '해가 존재한다' \( \Leftrightarrow \) '열공간은 치역의 공간과 같다'이다. 이를 통해 알 수 있는 것은 '치역이 존재하려면 해가 있어야 한다.'

 

4. 선형변환의 단사와 전사

■ \( T: V \rightarrow W \)를 두 벡터공간 \( V \)와 \( W \) 사이에 정의된 선형변환(선형사상)이라고 하자. 

■ 전사함수는 치역과 공역이 같은 것을 말한다. 즉,  \( T(V) = W \)가 성립하는 함수 \( T \)가 전사함수이다. 여기서 \( T(V) \)는 치역이다.

- 치역인 \( T(V) \)와 공역인 \( W \)가 일치하므로 \( T \)는 전사함수

■ 선형변환 \( T: V \rightarrow W \)가 전사함수이면 치역의 차원 = 공역의 차원 \( \Leftrightarrow \text{dim} ( \text{Im} T) = \text{dim} (W) \)이다.

■ 정의역에 속한 모든 변수 \( a, b \)에 대해 \( a \neq b \)일 경우 \( f(a) \neq f(b) \)가 성립하며, 대우 명제로 \( f(a) = f(b) \)일 경우 \( a = b \)가 성립하는 함수를 단사함수(일대일 함수)라고 한다.

■ 즉, 단사함수는 정의역에 있는 모든 원소들이 반드시 공역에 있는 모든 원소에 대응할 필요가 없으나, 치역의 원소 \( y \)에 대해 \( f(x) = y \)인 정의역의 원소 \( x \)가 유일하게 존재하는 함수이다. 간단히 말하면, 정의역의 모든 원소에 대해 대응하는 함수값인 \( f(x) \)가 각각 모두 다르다.

- 여기서 '유일하게'라는 말은 치역의 각 원소마다 반드시 정의역의 원소가 반드시 하나씩 대응되어야 한다는 얘기이다. 

■ 정의역 \( V \)에 속한 벡터를 \( v_1, v_2 \)라고 하자. \( v_1, v_2 \in V \)

■ 단사함수 정의에 따라 \( v_1 \neq v_2 \Rightarrow T(v_1) \neq T(v_2) \)가 성립할 때, 선형변환(선형사상) \( T \)를 단사 또는 일대일 사상이라고 한다. 또한, 대우 명제를 생각하면 \( T \)가 단사가 될 조건은 \( T(v_1) = T(v_2) \Rightarrow v_1 = v_2 \)임을 알 수 있다.

■ 주의해야 할 점은 일반적인 함수가 아니라 선형변환이라는 점이다. 

■ 선형변환은 \( T(0) = 0 \). 즉, 원점에 대응이 되어야 하는데, 단사함수가 되려면 일대일 대응이 되어야 하므로 \( V \)에 있는 0을 제외한 다른 값들이 \( W \)에 있는 0과 대응될 수 없다. 즉, 0으로 갈 수 있는 정의역은 0밖에 없어야 하며, 이는 정의역에 있는 핵공간에는 오직 '0'만 존재해야 한다는 것을 의미한다. \( T(\mathbf{v}) = 0 \Rightarrow \mathbf{v} = 0 \)

■ 정리하면, 두 벡터공간 사이에 정의된 선형변환 \( T: V \rightarrow W \)가 단사일 조건은 \( T \)의 핵공간이 \( \text{Ker} (T) = \left\{ 0 \right\} \)이다.

- \( \text{Ker} (T) \)는 선형변환 \( T \)에 대한 핵집합(핵공간)이며, \( \text{Ker} (T) = \left\{ 0 \right\} \) 이렇게 공간에 '0'밖에 없는 것은 0차원 이므로

- \( \text{dim} (\text{Ker}(T)) = \text{nullity} (T) = 0 \)이 성립한다.

 

cf) \( \text{rank} (A), \; \text{nullity} (A) \)가 의미하는 것 정리

- 행렬 \( A \)에 대해- \( \text{rank} (A) \) = 행공간의 차원 = 열공간의 차원 = 상(Image)공간의 차원 = 치역의 차원

- \( \text{nullity} (A) \) = 핵(또는 핵공간)의 차원 = 퇴화공간의 차원 = 영공간의 차원 = 해공간의 차원 = 행공간과 수직인 공간(행공간의 직교여공간)의 차원