[개념] 고유치, 고윳값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector)

1. 고윳값과 고유벡터

1.1 고윳값과 고유벡터란?

■ $A$가 $n \times n$행렬이고, $\mathbf{v}$가 $\mathbb{R}^n$의 벡터일 때, $\mathbf{v}$와 $A \mathbf{v}$가 서로의 스칼라배로 관계되는 0이 아닌 어떤 벡터 $v$가 존재한다. 이와 같은 벡터 $\mathbf{v}$는 선형변환의 해석에서 중요한 역할을 한다.

■ 예를 들어 $T(x, y) = \dfrac{1}{2} (3x + y, x + 3y)$로 정의된 선형변환 $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$가 있다고 하자. 그리고 정의역에 $\mathbb{R}^2$의 기저벡터 $v_1 = (1, 1), \; v_2 = (-1, 1)$가 존재할 때,

■ 이때의 선형변환의 표준기저에 대한 행렬표현은 $\dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$이며, 와 기저 $\left\{ v_1, v_2 \right\}$에 대한 행렬표현은 $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$가 된다.

- 선형변환 $T$에서 

- 정의역 $\mathbb{R}^n$의 표준기저 $e_1, e_2, \cdots, e_n$을 이용하여 각 $T(e_j)$를 $T$의 열벡터로 구성한 행렬 $A  = [ T(e_1) \quad T(e_2) \quad cdots T(e_n) ]$를 $T$의 표준행렬

참고) [개념] 선형 변환(사상)과 표준행렬

- 표준기저가 아닌 임의의 기저를 이용해 행렬로 나타낸 것을 행렬표현.

- 표준행렬은 표준기럴 사용하기 때문에 유일하지만, 

- 행렬표현은 기저에 따라 달라지므로 동일한 선형변환이라도 행렬의 형태가 달라지게 된다.

- 이런 차이는 기저 선택의 차이에서 발생한 것이다. 

- 그러므로 표준행렬은 행렬표현의 한 예라고 할 수 있지만, 행렬표현이 표준행렬은 아니다. 

■ $T(x, y) = \dfrac{1}{2} (3x + y, x + 3y)$로 정의된 선형변환 $T: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$에 정의역의 원소인 $v_1$과 $v_2$를 넣으면 다음과 같다.

- $T(v_1) = T(1, 1) = \dfrac{1}{2} (3+1, 1+3) = (2, 2), \; T(v_2) = T(-1, 1) = \dfrac{1}{2} (-2, 2) = (-1, 1)$

- 위의 결과를 정의역과 치역의 대응 관계로 다시 나타내면, $T(v_1) = (2, 2) = 2 \cdot v_1, \; T(v_2) = (-1, 1) = 1 \cdot v_2$

- $v_1, \; v_2$는 정의역에, $T(v_1), \; T(v_2)$는 치역에 존재하는 벡터이다.

■ $T(v_1) = (2, 2) = 2 \cdot v_1, \; T(v_2) = (-1, 1) = 1 \cdot v_2$이므로 주어진 선형변환은 $v_1$ 방향의 벡터는 2배로 늘리고, $v_2$ 방향의 벡터는 그대로 유지하는 선형변환임을 알 수 있다. 

■ 이를 2차원 평면에 나타내면 다음과 같이 $T$는 끝점이 단위원(반지름의 길이가 1인원) 위에 놓인 벡터 $v_1$을 직선 $y = x$를 따라 2배로 늘린 타원 위에 위치하도록 보내는 선형변환임을 알 수 있다. 

- $T(v_2) = 1 \cdot v_2$이므로 $v_2$는 그대로 유지

■ 이렇게 $T(v_1) = 2 \cdot v_1, \; T(v_2) = 1 \cdot v_2$로 표현된 것을 다음과 같이 행렬표현으로 나타낼 수 있다.

■ 이 과정을 보면, T의 행렬표현인 행렬 $A$는 벡터 $v_1$과 $v_2$에 선형변환이라는 함수로 작용한다. 즉, 행렬 $A$는 함수로서 $A \mathbf{v}$라는 결과값을 반환한다.

■ 이때, $A \mathbf{v}$는 선형변환이라는 함수의 결과값인 치역 $T( \mathbf{v})$에 해당한다.

- $\mathbf{v} = \left\{ v_1, v_2 \right\}$

■ 행렬 $A$에 의해 변환된 결과인 $A \mathbf{v}$의 열벡터를 보면, 변환되기 전인 $\mathbf{v}$의 열벡터와 평행 관계임을 알 수 있다.

■ $\mathbf{v}$를 행렬 $A$로 변환한 결과, $\mathbf{v}$와 $A \mathbf{v}$의 열벡터들이 평행 관계라는 것은 행렬 $A$가 $\mathbf{v}$의 열벡터들을 늘렸다는 것이며, 늘린 결과가 $A \mathbf{v}$의 열벡터임을 의미한다.

■ 이렇게 행렬 $A$와 곱해져도 평행한 방향(원래 자기 자신과 동일하거나 스칼라배로 표현되는 것 포함)을 갖는 벡터들을 고유벡터라고 한다. 그리고 $T(v_1) = 2 \cdot v_1, \; T(v_2) = 1 \cdot v_2$처럼 늘어나는 양이 고윳값이다.

■ 즉, 고윳값은 변환 전인 $\mathbf{v}$와 변환 후인 $A \mathbf{v}$가 특정 상수를 곱한 만큼의 차이가 존재함을 나타낸다. 이때, 이 특정 상수를 람다($\lambda$)로 표현한다.

■ 이렇게 $T(v_1) = 2 \cdot v_1, \; T(v_2) = 1 \cdot v_2$로 표현된 것을 $T(\mathbf{v}_i) = \lambda_i \mathbf{v}_i$로 표현할 수 있다.

■ 이때 $\lambda_i$가 의미하는 것은 선형변환 $T$가 어떤 방향으로 얼마만큼 늘어나는지를 의미하기 때문에

- $T(v_1) = 2 \cdot v_1$은 이 예시의 선형변환 $T$가 $v_1$ 방향의 벡터는 회전시키지 않고(= 방향을 보존시키고), 크기를 2배로 늘리는 특성을 가지고 있다는 의미이며, $\lambda_1 = 2$라고 할 수 있다.

- $T(v_2) = 1 \cdot v_2$은 이 예시의 선형변환 $T$가 $v_2$ 방향의 벡터는 회전시키지 않고(=방향을 보존시키고), 크기를 1배로 늘리는(그대로 크기를 유지하는) 특성을 가지고 있다는 의미이며, $\lambda_2 = 1$이라고 할 수 있다.

■ 정리하면, 선형변환에서 고유벡터는 선형변환이 일어난 후에도 방향이 변하지 않는 0이 아닌 벡터이며, 고유벡터의 길이(크기)를 변하게 하는 상수를 고유벡터에 대응하는 고윳값이라고 한다.

cf) 참고로, 이렇게 $\mathbb{R}^n$ 사이에 정의된 선형변환에서, $T(\mathbf{v}_i) = \lambda_i \mathbf{v}_i$가 되는 기저 $\left\{ v_1, v_2 \right\}$가 존재하면, 이 기저에 대한 행렬표현은 다음과 같이 주대각원소가 $\lambda_i$인 대각행렬이 된다.

■ $T(\mathbf{v}_i) = \lambda_i \mathbf{v}_i$의 관계를 $T$의 행렬표현 $A$를 이용하여 일반화하면 $A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$가 된다.

- 이때의 $A$는 $n \times n$이다. 즉 선형변환 $T: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$인 경우의 행렬표현이다.

-  $\mathbf{v}$는 0이 아닌, $\lambda$에 대응하는 고유벡터이며

- $\lambda$는 고윳값이다.

■ $A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ 식이 의미하는 것은 행렬 $A$가 스칼라 $\lambda$와 같다는 것이 아니라 동일한 벡터 $\mathbf{v}$에  행렬 $A$가 미치는 효과가 스칼라 $\lambda$가 미치는 효과와 동일하다는 것이다.

그리고 $A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$라는 식을 고유방정식(eigenvalue equation) 혹은 특성방정식(characteristic equation)이라고 한다.

1.2 고윳값, 고유벡터 찾는 법

1.2.1 고윳값 찾기

■ 고윳값, 고유벡터를 찾는 방법은 먼저, 다음과 같이 고유방정식 $A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$을 변환해야 한다. 

$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \Leftrightarrow$ 

$A \mathbf{v} - \lambda \mathbf{v} = 0 \Leftrightarrow$

$\left( A - \lambda I \right) \mathbf{v} = 0$

■ 두 번째 식은 단순히 기존 우변을 좌변에 넘겨 우변을 영벡터로 만든 것이다.

■ 세 번째 식 $\left( A - \lambda I \right) \mathbf{v} = 0$은 선형방정식 $A \mathbf{x} = 0$ 형태이다. 그리고 $\left(A - \lambda I \right)$를 고윳값 $\lambda$에 의해 이동된 행렬이라고 생각하면,

■ 즉, $\left( A - \lambda I \right) \mathbf{v} = 0$ 식은 고유벡터 $\mathbf{v}$가 고윳값에 의해 이동된 행렬 $\left(A - \lambda I \right)$의 영공간에 존재한다는 것을 의미한다.

■ $\left( A - \lambda I \right) \mathbf{v} = 0$이 성립하기 위해서는

- (1) $\left(A - \lambda I \right)$이 0이 되는 경우와 (2) $\mathbf{v}$가 0. 즉, $\mathbf{v} = \left\{ 0 \right\}$인 경우가 있다.

■ $\mathbf{v} = \left\{ 0 \right\}$인 경우는 자명해인 경우이다. 자명해를 갖는 경우 $\lambda$값은 어떠한 값도 가능하다.(아무런 값을 갖아도 성립된다.)

■ $\lambda$값이 아무런 값을 갖는 상황을 피해야, 정확한 $\lambda$값을 찾을 수 있으므로 비자명한 영공간을 갖는 경우를 생각해야 한다. 이때, 비자명한 영공간을 갖기 위해서는 $\left(A - \lambda I \right)$는 특이행렬(비가역행렬)이 되야 한다.

■ 특이행렬이라는 것은 그 행렬의 행렬식값이 0임을 의미하므로 $\det{(A - \lambda I)} = 0$을 계산하면 고윳값을 얻을 수 있다는 것을 알 수 있다.

■ 다른 관점에서 생각하면, $\left( A - \lambda I \right) \mathbf{v} = 0$에서 $\left(A - \lambda I \right)$가 가역행렬. 즉, 역행렬이 존재한다고 가정하자.

■ $\left(A - \lambda I \right)$가 가역행렬인 경우, $\left( A - \lambda I \right) \mathbf{v} = 0$의 양변에 $\left(A - \lambda I \right)^{-1}$을 곱하면, 고유벡터 $\mathbf{v} = \left( A - \lambda I \right) \times 0 = 0$이 된다.

■ 하지만, 앞서 언급한 것처럼 고유벡터 $\mathbf{v}$는 0이 아닌 벡터이다. 그러므로 $\left(A - \lambda I \right)$는 비가역행렬이어야 한다. 

■ 다시 돌아와서, $\det{(A - \lambda I)} = 0$는 $n \times n$ 정방행렬 $A$의 대각원소에 $\lambda$값을 뺀 행렬의 행렬식 값이 0이라는 것을 의미한다.

■ 예를 들어 $A$가 $2 \times 2$라면, 고유방정식의 행렬식 계산인 $\det{(A - \lambda I)} = 0$은 다음과 같다.

$|A - \lambda I| = 0$

$\begin{vmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{vmatrix} = 0$

$(a - \lambda)(d - \lambda) - bc = 0$

$\lambda^2 - (a + d) \lambda + (ad - bc) = 0$

■ 위와 같이 행렬식 $|A - \lambda I| = 0$는 $\lambda^2 - (a + d) \lambda + (ad - bc) = 0$같이 $\lambda$에 관한 다항식이 된다. 이것을 $A$의 고유방정식 또는 특성방정식 또는 특성다항식(characteristic polynomial)이라고 한다. $A$의 특성다항식(특성방정식)은 $n$차가 된다. 그러므로 $n \times n$ 행렬은 $n$개의 고윳값 $\lambda$를 가진다는 것을 알 수 있다. 그리고 $\lambda^n$의 계수는 1이다.

■ 예를 들어, $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$의 고윳값은

- $|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ -1 & 0 - \lambda \end{vmatrix} = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 3 \lambda + 2 = 0 \Rightarrow \lambda = 1 \text{ or } 2$

■ 참고로 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$와 같이 $2 \times 2$이면, $A$의 특성다항식 $\lambda^2 - (a + d) \lambda + (ad - bc) = 0$는 $\lambda^2 - \text{trace}(A) \lambda + \det{(A)} = 0$임을 알 수 있다.

■ 만약, $A$가 $A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$와 같이 $3 \times 3$이면, $A$의 특성다항식은 $A$의 대각선 원소의 여인수를 이용하면, $\lambda^3 - \text{trace} (A) \lambda^2 + [(ae + ai + ei) - (bd + cg + fh)] \lambda - \det{(A)} = 0$

■ 그리고 $3 \times 3$에서 얻은 특성다항식에서 고윳값 $\lambda$는 다음과 같이 조립제법을 이용하여 찾을 수 있다.

- 예를 들어 $\lambda^3 - 3 \lambda^2 + 4 = 0$이면 $\lambda = -1, 2$를 넣었을 때 등식이 성립하는 것을 알 수 있지만, 다음과 같이 조립제법을 이용하여 $\lambda$를 찾을 수도 있다.

1.2.2 고유벡터 찾기

■ 고윳값을 찾았으면, 그 고윳값에 대응되는 고유벡터를 찾을 수 있다. 

■ $\left( A - \lambda I \right) \mathbf{v} = 0$에서 고유벡터는 $\mathbf{v}$는 $\lambda$만큼 이동한 행렬 $\left(A - \lambda I \right)$의 영공간에 있다.

■ 즉, 고유벡터  $\mathbf{v}$는 $A$를 $\lambda$만큼 이동한 행렬과 고유벡터 $\mathbf{v}$의 곱이 0이 되게 만드는 벡터이다.

■ 예를 들어, 위의 $A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ 예에서 고윳값 $\lambda = 1 \text{ or } 2$였다. 이 예에서 고윳값 $\lambda = 1 \text{ or } 2$에 대응되는 고유벡터는 다음과 같이 찾을 수 있다.

- (1) $\lambda = 1$에 대응하는 고유벡터

- $\begin{pmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ -1 & 0 - \lambda \end{pmatrix} \mathbf{v} = 0$에서 $\lambda = 1$이므로 $A$를 $\lambda = 1$만큼 이동시킨 행렬 $A - \lambda I$는

- 고유벡터 $\mathbf{v}$를 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$라고 했을 때

- $\begin{pmatrix} 3 - 1 & 2 \\ -1 & 0 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{align} 2x + 2y &= 0 \\ -x - y &= 0 \end{align} \Rightarrow y = -x$

- 즉 $y = -x$를 만족하는 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$를 찾으면 된다. 

- 그러면 $\lambda = 1$에 대응하는 고유벡터 $\mathbf{v}$는 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} \ \cdots$가 된다.

- 이때, 고유벡터 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} \ \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} \ \cdots$로 이루어진 것들을 모아놓은 공간을 $\lambda = 1$에 대응하는 '고유공간'이라고 한다.

- 참고로 고유벡터는 일반적으로 가장 단순한 형태의 벡터를 사용한다. 왜냐하면 가장 단순한 형태의 벡터만 있으면 동일한 고유공간에 있는 고유벡터들은 실수배하여 만들 수 있기 때문이다. 

- 그러므로 $\lambda = 1$에 대응하는 고유벡터 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$라고 할 수 있다. 또는 고유벡터 $\mathbf{v}$를 $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} -t \\ t \end{pmatrix}, \; \left( t \in \mathbb{R} \right)$같이 일반화된 표현으로 나타내도 된다.

- 위와 같은 동일한 방법으로 $\lambda = 2$에 대응하는 고유벡터를 찾을 수 있다.

■ 정리하면, $\lambda = \alpha$에 대응하는 고유벡터들이 모여있는 공간을 '고유공간'이라고 한다. 그러므로 고유벡터를 구한다는 것은 ' $\lambda = \alpha$에 대응하는 고유공간의 기저(벡터)를 찾는 것'이라고 할 수 있다.

- 기저(벡터)는 0(영벡터, zero vector)가 될 수 없다.

■ 그리고 $\left( A - \lambda I \right) \mathbf{v} = 0$ 식은 고유벡터 $\mathbf{v}$가 고윳값에 의해 이동된 행렬 $\left(A - \lambda I \right)$의 영공간에 존재한다는 것을 의미하며, 이는 $A$의 $\lambda$에 대응하는 고유벡터이다. 

■ $A$의 $\lambda$에 대응하는 고유벡터의 $\left(A - \lambda I \right)$의 영공간의 기저 개수 = $A$의 고윳값 $\lambda$에 대응하는 고유공간의 기저 개수라고 할 수 있으며, 이는 $\left(A - \lambda I \right)$의 영공간의 차원을 의미한다.

퇴화차수 정리를 이용하면, ' $\left(A - \lambda I \right)$의 영공간의 차원 = $\text{nullity} (A - \lambda I) = n - \text{rank} (A - \lambda I)$'이다. 

그러므로 $\left(A - \lambda I \right)$의 영공간의 기저 개수 = $A$의 고윳값 $\lambda$에 대응하는 고유공간의 기저 개수 = $\text{nullity} (A - \lambda I) = n - \text{rank} (A - \lambda I)$가 되며, 이 값은 거슬러 올라가면 $A$의 $\lambda$에 대응하는 (선형 독립인) 고유벡터의 개수라는 것을 알 수 있다.

1.3 고윳값 및 고유벡터의 성질

■ 고윳값 및 고유벡터의 성질은 다음과 같다.

- ① $n \times n$행렬 $A$의 고윳값 $\lambda$의 합은 $A$의 대각원소들의 합 $\text{trace} (A)$와 같다.

- ② $n \times n$행렬 $A$의 고윳값의 곱은 행렬식의 값과 같다.

- 이때, 위의 조립제법 예시와 같이 고윳값 $\lambda$가 중근이 나오는 경우가 있다. ex) $\lambda = -1, 2, 2$

- 이렇게 고윳값이 중근이 나오는 경우, 고윳값의 합과 고윳값의 곱은 중근까지 모두 포함해서 더하거나 곱해야 한다.

- ①과 ②는 $2 \times 2$행렬 $A$의 특성다항식에서 성립하는 것을 '근과 계수의 관계'를 이용하여 보일 수 있다.

- $\lambda^2 - \text{tr} (A)\lambda + | A | = 0$일 때, $\lambda^2$의 계수는 1이고 $\lambda$의 계수는 $- \text{tr} (A)$이다. 그리고 특성다항식이 2차이므로 2개의 고윳값 $\lambda_1, \; \lambda_2$가 존재한다.

- 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합인 $\lambda_1 + \lambda_2$은 $\lambda_1 + \lambda_2 = -\dfrac{ - \text{tr} (A) }{1} = \text{tr} (A)$가 된다. 그리고 두 근의 곱은 $\lambda_1 \cdot \lambda_2 = \dfrac{ |A| }{1} = |A|$가 된다.

cf) 근과 계수의 관계 - $ax^2 + bx + c = 0$일 때, 두 근 $\alpha, \beta$

- 두 근의 합 $\alpha + \beta = - \dfrac{b}{a}$, 두 근의 곱 $\alpha \cdot \beta = \dfrac{c}{a}$

- ③ $A$와 $A^T$의 고윳값은 항상 같다. 하지만 고윳값에 대응되는 고유벡터는 항상 같다고 보장할 수 없다.

- ④ $n \times n$행렬 $A$가 가역행렬이다 $\Leftrightarrow$ $n \times n$행렬 $A$의 고윳값 중 0이 존재하지 않는다. $\Leftrightarrow \det{(A)} \neq 0 \Leftrightarrow \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3 \cdots \lambda_n \neq 0$ 

- ⑤ $n \times n$행렬 $A$가 비가역행렬이다 $\Leftrightarrow$ $n \times n$행렬 $A$의 고윳값 중 0이 존재한다. $\Leftrightarrow \det{(A)} = 0 \Leftrightarrow \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3 \cdots \lambda_n = 0$ 

- ⑥ $n \times n$행렬 $A$의 고윳값이 $\lambda_1, \; \lambda_2, \cdots \lambda_n$이라 할 때

- (1) $A^k$의 고윳값은  $\lambda^k_1, \; \lambda^k_2, \cdots \lambda^k_n$

- (2) $a \in \mathbb{R}$일 때, $aA$의 고윳값은  $a \lambda_1, \; a \lambda_2, \cdots a \lambda_n$

- (3) $A^{-1}$의 고윳값은  $\lambda^{-1}_1, \; \lambda^{-1}_2, \cdots \lambda^{-1}_n$

- (4) $A + a I$의 고윳값은  $\lambda_1 + a, \; \lambda_2 + a, \cdots \lambda_n + a$

- (5) $A^n + A^m$의 고윳값은 $\lambda^n_1 + \lambda^m_1 , \; \lambda^n_2 + \lambda^m_2 , \cdots \lambda^n_n + \lambda^m_n$ 

- 그리고 $A^k$, $aA$, $A^{-1}$, $A + a I$, $A^n + A^m$의 고유벡터는 $A$의 고유벡터와 같다. 그 이유는 고유벡터가 행렬 변환에 의해 방향이 변하지 않는 벡터이기 때문이다. 원래 행렬 $A$의 고유벡터는 특정 연산을 수행해도 여전히 동일한 방향성을 유지한다.

- ⑦ 대칭행렬의 고윳값은 항상 '실수'이며, 대칭행렬의 서로 다른 고윳값에 대한 고유벡터들은 항상 수직 관계를 갖는다.

- 대칭행렬의 서로 다른 고윳값을 $\lambda_1, \; \lambda_2$라고 했을 때, 각 고윳값에 대응되는 고유벡터를 $v, \; w$라고 하자. 그러면 $v \perp w \Leftrightarrow v \cdot w = v^T w = 0$ (고유벡터 $v$와 $w$의 내적 값은 0)

- ⑨ 교대행렬의 고유값은 순허수 또는 0이다.

- ⑩ 직교행렬의 고윳값은 1또는 -1이거나 켤레 복소수($a \pm bi$)이며, 직교행렬의 고윳값의 절댓값은 항상 1이다. 

- 직교행렬의 고윳값의 절댓값은 항상 1이다.는 켤레 복소수($a \pm bi$)의 경우, 복소수의 크기 = 1이다.라는 것을 의미한다. $\sqrt{a^2 + b^2} = 1$

 

2. 케일리-해밀턴(Cayley-Hamilton) 정리

■ $n \times n$ 행렬 $A$의 고유방정식 $|A - \lambda I | = 0$이 $p(\lambda) = \lambda^n + c_{n-1} \lambda^{n-1} + \cdots + c_2 \lambda^2 + c_1 \lambda + c_0 = 0$라고 하자. 

■ 이 고유방정식(특성방정식) $p(\lambda)$에 $n \times n$인 정방행렬 $A$를 대입해도 식이 다음과 같이 성립한다는 것이 케일리-해밀턴 정리이다. $p(A) = A^n + c_{n-1} A^{n-1} + \cdots + c_2 A^2 + c_1 A + c_0 I = 0$

■ 즉, 케일리-해밀턴 정리는 $n \times n$ 정방행렬이 자기 자신의 고유방정식(특성방정식)을 만족시킨다는 정리이다.

■ 이러한 케일리-헤밀턴 정리는 다음과 같이 행렬의 차수가 높은 문제에서 유용하게 사용할 수 있다.

- 예를 들어 $4 \times 4$행렬 $A$의 고유방정식이 $\lambda^4 - 2 \lambda^2 + 1 = 0$이라고 하면, 케일리-헤밀턴 정리에 의해 $A^4 - 2A^2 + 1 \cdot I = 0$이 성립한다.

- 만약, $A^5 - 2 A^3 + 2A - I$라는 식이 있으면, 이 식은 $A \left( A^4 - 2A^2 + I \right) + A - I$라는 식으로 나타낼 수 있고, 케일리-헤밀턴 정리에 의해 $A^4 - 2A^2 + 1 \cdot I = 0$이므로

- $A^5 - 2 A^3 + 2A - I$라는 다소 복잡한 식은, $A - I$라는 간단한 식이 된다.