선형대수 (40) 썸네일형 리스트형 Independence, basis, and dimension 1. 선형 독립(Linear Independence)■ 어떤 행렬이 \( m \times n \) 크기를 가지며, 행의 개수 - \( m ■ 이런 경우, 행렬 \( A \)에 대해 \( A \mathbf{x} = 0 \)에 대한 '0이 아닌 해가 존재'한다. 즉, 영공간(nullspace)가 존재한다.■ 왜냐하면, \( m times n \) 행렬 \( A \)가 \( m ■ 이러한 free variable에 0이 아닌 값을 설정하고 pivot variable에 대해 방정식을 풀면, \( A \mathbf{x} = 0 \)에 대해 0이 아닌 해가 존재. 즉, 영공간이 존재하는 것이다.■ 사실, 이 결과는 \( A \mathbf{x} = 0 \)의 해가 자명해인 \( \mathbf{x} = 0 \) 말고도.. Solving Ax = b: row reduced form R 1. Complete solution of \( A \mathbf{x} = b \)1.1 \( A \mathbf{x} = b \)의 해■ \( A \mathbf{x} = b \)에서 해가 존재할 수도, 존재하지 않을 수도 있다. 해의 존재 여부는 소거법을 통해 확인해야 한다.■ 그리고 해가 존재한다면, 유일한 해인지 아니면 여러 해가 존재하는지 확인해야 한다. ■ 예를 들어 방정식이 다음과 같을 때,\( \begin{aligned} x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 2x_4 &= b_1 \\ 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 8x_4 &= b_2 \\ 3x_1 + 6x_2 + 8x_3 + 10x_4 &= b_3 \end{aligned} \) ■ 이 방정식을 행렬로 바꿔 소거법을.. Solving Ax = 0: pivot variables, special solutions 1. The algorithm for solving \( A \mathbf{x} = 0 \)■ 예를 들어 다음과 같이 정방행렬이 아닌 직사각 행렬 \( A \)가 있을 때,\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{bmatrix} \)■ \( A \)의 열을 보면, 첫 번째 열에 \( \times 2 \)를 하면 두 번째 열을 만들 수 있다. 이는 첫 번째 열과 두 번째 열이 서로 같은 방향을 가리키는 (열)벡터이므로 종속 관계를 갖는다고 할 수 있다.■ \( A \)의 행에서도 첫 번째 행벡터와 두 번째 행벡터를 더하면 세 번째 행벡터가 되는 것을 볼 수 있다. 이는 행공간을 생성함에 있어 세 번째 행벡.. 최소제곱법 1. 최소제곱법(least squares solution)■ 시각 \( t \)에 대해 얻어진 데이터를 \( f(t) \)라고 할 때, 좌표평면에 유한 개의 데이터를 유한 개의 점 \( (t, f(t)) \)로 나타낸 것이 다음과 같다고 하자.■ 데이터(유한 개의 점 \( (t, f(t)) \))의 분포를 오차가 최소가 되도록 일차함수 \( y = g(x) \)의 그래프로 근사시키는 방법 중에 '잔차(실제 값과 예측 값의 차)에 대한 제곱'으로 최소가 되도록 하는 방법을 '최소제곱법'이라 한다.\( \displaystyle \sum_{k=1}^{10} \left[ f(k) - g(k) \right]^2 = \displaystyle \sum_{k=1}^{10} \left[ f(k) - ax - b \rig.. [개념] 정규직교집합과 Gram-Schmidt 직교화 1. 정규직교집합, 정규직교기저■ 어떤 공간의 부분집합을 \( S \)라고 하자. \( S \)가 영벡터가 아닌 벡터들로 이루어져 있고, 임의의 두 벡터 \( v, w \in S \)에 대해 \( v \neq w \)이면서 \( = 0 \)이면 집합 \( S \) 내의 모든 벡터 쌍이 직교(orthogonal)한다는 것이다. ■ 이러한 조건을 만족하는 집합 \( S \)를 '직교집합'이라고 부른다. ■ 그리고 직교집합 \( S \)에 속하는 각 벡터의 크기가 1이면, \( S \)를 '정규직교집합'이라고 한다.■ 즉, \( S = \left\{ v_1, v_2, \cdots, v_n \right\} \)이 정규직교집합이라면 \( v_i \)와 \( v_j \)의 내적이 (\( = a_{ij} \)라고.. [개념] 행렬의 기본 공간과 차원 정리 1. 행렬의 기본 공간1.1 행공간 및 열공간■ \( n \times m \) 행렬 \( A \)에 대해 - \( A \)의 행벡터가 생성하는 \( \mathbb{R}^n \)의 부분 공간을 \( A \)의 행공간(row space)이라 하고, - 열벡터가 생성하는 \( \mathbb{R}^m \)의 부분 공간을 \( A \)의 열공간(column space)라고 한다.■ 행공간과 열공간의 기저를 찾는 방법은 행렬을 기약 행사다리꼴로 만들면 된다. 기본 행연산은 행렬의 행공간을 변화시키지 않는다. 하지만, 열공간은 변화시킨다. ■ 그러므로 열공간의 기저는 행렬 \( A \)를 전치시킨 \( A^T \)에서 행공간의 기저를 구하고, 이를 열벡터로 바꾸면 된다. 이렇게 찾은 행공간의 기저로 행공간을 만들고.. Spaces of Vectors - (2) Column Space and Nullspace 1. The Column Space of A■ 예를 들어 다음과 같은 행렬 \( A \)가 있다고 할 때■ 행렬 \( A \)는 3개의 열을 가지고 있다. 이 열들은 벡터이므로 3개의 열벡터를 가지고 있는 것으로 볼 수 있다.■ 이 예에서 행렬 \( A \)의 열공간은 \( \mathbb{R}^4 \)의 부분공간이다. 왜냐하면 \( A \)는 \( 4 \times 3 \)행렬이기 때문이다.■ 이는 행의 개수, 즉 열의 구성 요소 수가 4개이기 때문이다.■ 일반화하면, 행렬 \( A \)의 크기가 \( m \times n \)일 때, \( A \)의 열들은 \( m \)개의 성분을 가진다. 즉, \( \mathbb{R}^m \)에 속한다. 그리고 \( A \)의 열 공간은 \( \mathbb{R}^m \).. [개념] 벡터 공간 1. 벡터 공간(vector space)1.1 공간 (space)■ 집합 \( V \)의 임의의 원소 \( u, v \)와 임의의 스칼라 \( k \)에 대해, \( k \in \mathbb{R} \) 다음을 만족할 때, 집합(set) \( V \)를 공간(sapce) \( V \)라 한다. \( ① u + v \in V \quad ② k \cdot u \in V \)■ 다시 말해, 집합 \( V \)에 위의 조건 ①, ②를 모두 만족하면 집합 \( V \)를 공간 \( V \)라고 한다. - 여기서 조건 ①이 의미하는 것은 \( V \)라는 집합 안에서 원소 \( u, v \)를 임의로 꺼냈을 때, 두 원소를 더한 값이 다시 집합 \( V \)에 속해야 한다는 의미이며 (즉 , \( V \)의 원소가.. 이전 1 2 3 4 5 다음
