[개념] 행렬 (3)

1. 역행렬 정의

■ 어떤 행렬 \( A \)가 정방행렬이고 \( AB = BA = I \)가 되는 \( A \)와 같은 크기의 행렬 \( B \)가 존재하면, \( A \)는 가역행렬 또는 정칙행렬이라 하고, \( B \)는 \( A \)의 역행렬이 된다. 

- 이때, \( A \)의 역행렬은 \( B^{-1} = A \)로 표현한다.

■ \( A \)가 \( n \times n \)이고 가역행렬이면, \( A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) \)이다.

■ \( \text{adj} (A) \)는 \( A \)의 수반행렬이라 하며, 수반행렬을 구하는 방법은 \( n \times n \) 행렬 \( A \)의 각 원소의 여인수를 구한 후, 같은 위치에 위치시킨 다음, 전치시킨다.

cf) \( A \)가 \( 2 \times 2 \)이면, \( A^{-1} \)은 다음과 같다.

■ \( AA^{-1} = I \)처럼 역행렬은 행렬을 취소하는 역할을 한다. 다르게 정의하면, 행렬을 단위행렬로 선형 변환하는 것이다. 즉, 역행렬은 선형 변환을 포함하며, 행렬 곱셈은 이 변환을 적용시키는 메커니즘으로 볼 수 있다.

■ 이 역행렬을 이용하면, \( A \)가 가역행렬이라는 전제 하에 \( A \)와 \( b \)를 알고 있다면, \( Ax = b \) 형태의 문제에서 \( x \)를 구하기 위해 역행렬을 이용해서 유일한 해 \( x = A^{-1}b \)를 구할 수 있다.

■ 행렬 \( A \)의 가역행렬 여부는 행렬식을 이용하여 알 수 있다. 그리고 역행렬을 구하는 방법 중 가우스 조르단 소거법을 이용하여 구하는 방법이 있다.

https://hyeon-jae.tistory.com/170

Solving Linear Equations - (4) Inverse Matrices, (5) Elimination = Factorization: A = LU, (6) Permutations

■ 정방행렬 \( A \)가 열벡터들이 선형 종속이라면, \( A \)의 랭크는 풀랭크이며 각 열벡터는 서로의 스칼라배를 통해 서로를 표현할 수 있다. 즉, 원소가 모두 0인 벡터를 생성할 수 있다.

■ \( A \mathbf{x} = 0 \)인 문제에서 \( \mathbf{x} \)는 0이라는 자명해를 갖는데, 선형 종속인 경우 \( A \)의 행 중 원소가 모두 0인 행이 존재하므로 \( \mathbf{x} \)는 비자명해를 갖게 된다.

■ '역'이 존재하려면 일대일이 되야 하는데, 일대일이 성립하지 않는다.  이런 경우(선형 종속) \( A \)의 행렬식값은 0이 된다. 그러므로 정방행렬 \( A \)의 행렬식 값이 0이라면, 정방행렬 \( A \)는 비가역행렬이다.

■ 반면, 정방행렬 \( A \)의 열벡터들이 선형 독립이라면, 풀랭크를 가지므로(원소가 모두 0인 행이 존재하지 않음),  \( A \mathbf{x} = 0 \)인 문제에서 \( \mathbf{x} \)는 0이라는 자명해를 갖는다. 즉, 일대일이 성립하는 것이다.

■ 선형 독립인 경우 \( A \)의 행렬식값은 0이 되지 않는다. 그러므로 정방행렬 \( A \)의 행렬식 값 \( \det(A) \neq = 0 \)이라면, 정방행렬 \( A \)는 가역행렬이다.

cf) 직교행렬의 역행렬

- \( AA^{T} = A^{T}A = I \)를 만족하는 정방행렬 \( A \)를 직교행렬이라고 한다.

- 그러므로 역행렬 정의에 따라 직교행렬 \( A \)는 반드시 가역행렬이다.

- \( AA^{T} = I \Rightarrow A^{-1} = A^{T} \)

- 그리고 \( det(AA^{T}) = det(I) \)를 계산하면, \( |AA^{T}| = |I| \)에서 \( |A|  = |A^{T}| \)이므로 \( |A|^2 = 1 \)이 된다. 그러므로 직교행렬의 행렬식 값은 \( |A| = ± 1 \)이 된다. 

1.1 역행렬의 성질

■ 역행렬의 성질은 다음과 같다.

 

2. 크래머(Cramer)의 법칙

■ \( n \)개의 미지수를 갖는 \( n \)개의 연립일차방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

■ 이 연립방정식을 행렬로 표현하면 다음과 같다.

■ 위와 같이 연립일차방정식을 \( Ax= b \)로 나타냈을 때, \( A \)가 가역행렬이면 유일한 해를 갖으며, 해는 \( x = A^{-1}b \)를 통해 구할 수 있다.

■ 또한 크래머의 법칙을 이용해 다음과 같이 해를 구할 수 있다. 

- 크래머 법칙은 \( A \)가 정방행렬이며 \( \det(A) \neq 0 \)일 때 사용할 수 있다.

- 여기서 \( A_j \)는 \( A \)의 \( j \)번째 열이 \( b = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T \)로 바뀐 행렬이다.

 

3. LU 분해

■ 어떤 연립일차방정식을 하삼각행렬 \( L \)과 상삼각행렬 \( U \)로 분해하여 해를 구하는 과정을 \( LU \)분해라고 한다.

cf) 하삼각행렬, 상삼각행렬의 행렬식 값은 주 대각선 원소들의 곱이다.

■ 이때, 모든 행렬이 \( LU \)분해를 갖는 것은 아니다. 하지만, 주어진 행렬이 가역행렬일 때는 행의 순서를 적절히 재배열한다면 \( LU \) 분해를 수행할 수 있다. 

- 정확하게는 행렬 \( A \)가 가역행렬이면, 적당한 치환행렬 \( P \)에 대해 \( PA \)의 \( LU \)분해를 구할 수 있다.

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■ 그리고 \( LU \)분해가 있다고 하더라도 그것이 유일한 것은 아니다. 소거 과정에서 어떤 multiplier를 사용하고 어떤 행에서 어떤 행을 뺄셈했는지에 따라 결과가 달라지기 때문이다. (더 정확하게는 소거 행렬 \( E \)가 달라지기 때문)

■ 행렬 \( A \)의 \( LU \)분해를 알고 있을 때도 해를 구할 수 있다.

- 연립방정식 \( Ax = b \)에서 \( A = LU \)를 만족하는 \( L \)과 \( U \)가 주어졌다고 하자.

- 이때 \( Ax = LUx \)이므로 \( Ax = L(Ux) = b \)가 성립하므로 

- 하삼각행렬 \( L \)에 대해 \( LY = b \)를 만족시키는 \( Y \)를 먼저 구한 다음, \( Ux = Y \)를 만족하는 \( x \)를 구하면 해를 쉽게 구할 수 있다.

- 예를 들어, \( Ax = b \)와 \( A = LU \) 결과가 다음과 같을 때

- 해 \( x \)를 위의 방식으로 구할 수 있다.