[개념] 행렬 (1)

1. 행렬 정의

■ 다음과 같이 $mn$개의 숫자를 $m$개의 행과 $n$개의 열을 갖도록 나열한 것을 '크기가 $m \times n$인 행렬' 또는 '비정방 행렬(nonsquare matrix)'이라 하고

비정방 행렬

■ $m = n$인 행렬을 '$n$차 정사각 행렬(정방 행렬) square matrix'이라고 한다.

■ 즉, 정방 행렬은 행의 수 = 열의 수인 행렬이며, 비정방 행렬은 행의 수 ≠ 열의 수인 행렬이다.

- 이때, 비정방 행렬이 '행의 수 > 열의 수'이면 '높다'고 하고, '행의 수 < 열의 수'이면 '넓다'고 표현한다.

■ $n \times n$인 정방 행렬의 대각 원소들 $a_{11}, a_{22}, \cdots, a_{nn}$을 '주대각선 원소(성분)'라고 하며, 정방 행렬의 주대각선을 이룬다고 한다.

■ 이 주대각선 성분을 제외한 모든 성분이 0일 때, 이를 '대각 행렬(diagonal matrix)'이라고 한다. 즉, 모든 비대각 원소가 0이며, 대각 원소는 0일 수도 0이 아닐 수도 있다.

■ 주대각선 성분이 모두 같은 행렬을 상수 행렬이라 하는데, 이때 모든 주대각선 성분이 1인 $n$차 상수 행렬을 '$n$차 단위 행렬(identity matrix)'이라고 한다.

■ 단위 행렬은 행렬이나 벡터에 단위 행렬을 곱했을 때, 동일한 행렬 또는 벡터가 출력된다는 점에서 숫자 1과 기능이 동일하다.

- 즉,  단위 행렬의 성질은 $A \cdot I = I \cdot A$이며 $I^n = I$가 성립한다.

- 단위 행렬은 $I$ 또는 $E$로 표현한다.

■ 그리고 '삼각 행렬(triangular matrix)'은 주대각선의 위 또는 아래가 모두 0인 행렬로, 

- 0이 아닌 원소가 대각선 위에 있으면 상삼각 행렬, 0이 아닌 원소가 대각선 아래에 있으면 하삼각 행렬이라고 한다.

■ 위의 행렬들과는 다르게, 모든 원소가 0인 행렬을 '영행렬(zeros matrix)'라고 하며, 영벡터처럼 $O$로 나타낸다.

- 즉, 영행렬의 성질은 $A \cdot O = O$, $A + O = A$가 성립한다.

 

2. 행렬의 연산과 성질

2.1 행렬의 덧셈과 뺄셈

■ 행렬의 덧셈과 뺄셈은 각 행렬이 같은 크기를 가져야 연산이 가능하다. 

- $A, B ∈ M_{m, n}$에 대해 $A_{mxn} + B_{mxn} = C_{mxn}$

- $A_{mxn} - B_{mxn} = C_{mxn}$

- 이때, $1 \leq i \leq m$과 $1 \leq j \leq n$에 대해 \( (A+B)_{ij} = A_{ij} + B_{ij} = B_{ij} + A_{ij} = (B+A)_{ij} \)가 성립한다. (교환 법칙)

 

2.2 스칼라 곱과 아다마르곱

■ 행렬 $A$와 스칼라 $c$에 대해서 곱(product) $cA$는 $A$의 각 성분(원소)에 $c$를 곱하여 얻는 행렬이다.

■ 아다마르곱은 다음과 같이 두 행렬의 원소별 곱을 통해 계산된다.

 

2.3 행렬의 곱셈(행렬-행렬 곱셈)

■ 행렬의 곱셈은 '행과 열 단위'로 동작한다.

■ 행렬의 곱셈은 다음과 같이 $A$의 열과 $B$의 행 개수가 같아야 정의된다.

■ 이 행렬 곱셈을 통해 나온 행렬 $AB$의 크기는 $m \times n$이 되며, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

■ 여기서 $c_{ij}$는 $A$의 $i$ 번째 행과 $B$의 $j$ 번째 열 사이의 내적이다. 

■ 그러므로 행렬 곱셈의 결과는 $A$ 행렬의 행과 $B$ 행렬의 열 사이의 모든 쌍에 대한 '선형 관계를 저장하는 행렬'이라고 볼 수 있다.

■ 더 정확하게는 행렬 곱셈의 결과를 $B$의 행 벡터들의 선형(일차) 결합 linear combination 또는 $A$의 열 벡터들의 일차 결합으로 볼 수 있다.

- 위와 같은 개념은 행 벡터 x 행렬의 결과가 행 벡터이고, 행렬 x 열 벡터의 결과가 열 벡터인데,

- 행 벡터 x 행렬은 행렬의 행 벡터의 선형 결합이고 행렬 x 열 벡터는 행렬의 열 벡터의 선형 결합이 된다는 것의 개념을 확장한 것이다.

■ 행렬 연산과 관련된 성질을 정리하면 다음과 같다.

cf) 행렬 명제

 

3. 행렬 종류

3.1 전치 행렬(transposed matrix)

■ 행렬 $A$가 $m \times n$ 행렬 일 때, 전치 행렬은 $n \times m$인 행렬이다.

■ 즉, $A$의 1행부터 $m$행을 차례대로 1열부터 $m$열로 갖는 행렬을 전치 행렬이라고 한다.

■ 전치 행렬의 성질은 다음과 같다.

 

3.2  대칭 행렬(symmetric matrix)

■ 행렬이 대칭이라는 것은 대응되는 행과 열이 같다는 것을 의미한다. 즉 행과 열을 바꿔도 행렬에는 아무런 변화가 없다는 것이다.

■ 이는 대칭 행렬은 자신의 전치 행렬과 같다는 것을 의미한다.

■ 즉, $A^T = A$ 또는 $a_{ij} = a_{ji}$을 만족하는 행렬 $A$가 대칭 행렬이다. 이때 $A$는 정방 행렬이다.

■ 그러므로, 대칭 행렬은 다음과 같이 대각 원소를 중심으로 위쪽과 아래쪽이 같은 원소를 갖는다.

■ 단, 행렬 크기가 $m \times n$이면, 전치는 $n \times m$이므로 정방 행렬이 아니라면 대칭이 될 수 없다.

 

3.3 교대(반대칭) 행렬(skew-symmetric matrix)

■ $A^T = - A$ 또는 $a_{ij} = - a_{ji}$를 만족하는 행렬을 교대(반대칭) 행렬이라 한다. 이때 $A$는 정방 행렬이다.

■ 대각 원소는 모두 0이며, 대각 원소를 중심으로 위쪽과 아래쪽의 원소가 부호만 반대인 행렬이다. 

■ 임의의 정방 행렬은 항상 대칭 행렬과 교대 행렬의 합으로 나타낼 수 있다.

cf) $(A+A^T)$가 왜 대칭 행렬인지

 

3.4 직교 행렬(orthogonal matrix)

■ $A$가 정방 행렬일 때, $A^T A = AA^T = I$을 만족하는 행렬 $A$를 직교 행렬이라 한다.

■ 또한, 행렬 $A$의 모든 행 또는 열 벡터의 크기가 1이며, 각 행 또는 열 벡터가 서로 수직 관계임을 동시에 만족하면 직교 행렬이라 한다.

■ 행렬 $A$가 직교 행렬이면, 다음 두 가지가 성립한다.

- 행렬 $A$ 뒤에 벡터를 곱하면, 결과는 벡터이다. 벡터일 때, $v o w = v^Tw$가 성립함을 이용한 것이다.