[개념] 행렬 (2)

1. 기본 행연산(또는 행 기본 연산)

■ 기본 행연산을 통해서 나온 행렬들은 모두 행동치 행렬(row-equivalent matrix)이 된다.

- 행동치란, 행렬 B에 기본 행연산을 유한 번 수행하여 행렬 A를 얻을 수 있다면, 행렬 A와 B는 행동치라고 한다.

■ 기본 행연산에는 다음 세 가지 연산이 있다.

- (1) 행렬의 두 행을 바꿀 수 있다.

- (2) 한 행에 (원소에) 0이 아닌 상수를 곱할 수 있다

- (3) 한 행에(원소들의) 상수배를 다른 행(원소들에) 더할 수 있다.

 

2. 가우스 소거법과 연립일차방정식

■ 가우스 소거법이란 연립일차방정식을 확대행렬로 나타내어 '기본 행연산'을 통해 행렬을 '행사다리꼴'로 만들어 방정식을 푸는 방법을 말한다.

- 연립방정식을 \( Ax = b \)로 나타낼 때, \( A \)가 \( m \times n \)이라면, 미지수 \( b \)를 덧붙여 만든 \( m \times (n+1) \) 행렬을 '확대행렬'이라고 한다.

■ 여기서 '행사다리꼴'이란 간단히 말하면, 선두(pivot)를 기준으로 선두 아래쪽 원소를 모두 0으로 만든 행렬이다.

■ 행사다리꼴에 대한 정의는 다음과 같다.

- \( m \times n \) 행렬 \( A \)가 다음 성질을 만족할 때, 행사다리꼴이라고 한다.

- (1) 성분이 모두 0인 행이 존재하면, 그 행은 행렬의 맨 아래에 위치한다.

- (2) 각 행에서 처음으로 나타나는 0이 아닌 성분(pivot을 말함.)은 1이다. 이때, 각 행에서 처음으로 나타나는 0이 아닌 성분을 그 행의 선행(선두) 성분이라고 한다.

- (3) \( i \) 행과 \( i + 1 \) 행 모두에 선행 성분이 존재하면, \( i + 1 \)행의 선행 성분은 \( i \) 행의 선행 성분보다 오른쪽에 위치한다.

■ 예를 들어, 다음과 같이 3차원에서 미지수가 3개인 연립방정식을 가우스 소거법을 이용해 풀어보자.

- 먼저, 다음과 같이 연립방정식을 확대행렬로 나타낸다.

- 그다음, 위와 같은 확대행렬에 기본 행연산을 적용한다.

- 위의 과정에서 기본 행연산이 적용된 모든 행렬이 행동치 행렬이다.

- 그러면 다음과 같이 행렬이 행사다리꼴이 된다. 이 행렬을 가우스 행렬이라고도 한다.

- 이제, 이를 가우스 소거법으로 계산한다. 즉, 역 대입을 이용한다.

- 그러면 \( z = -5 \)가 되고, \( z = -5 \)이므로 \( y = -3 \)이 된다. 마지막으로 \( z = -5, y = -3 \)이므로 \( x = 2 \)가 된다.

 

3. 가우스 조르단 소거법(Gauss-Jordan Elimination)

■ 가우스 조르단 소거법은 위의 가우스 소거법에서 한 단계가 더 진행된다.

■ 바로, '기약 행사다리꼴'을 구하는 것이다. 기약 행사다리꼴의 정의는 위의 행사디꼴 정의에 '어떤 행의 선행 선분을 포함하는 열의 다른 성분은 모두 0이다.'라는 조건이 추가로 붙은 것이다.

■ 간단히 말해, 기약 행사다리꼴은 위의 행사다리꼴 정의에 '선두를 기준으로 위, 아래가 모두 0'인 것을 말한다.

■ 가우스 소거법과 동일하게 기본 행연산을 적용하므로, 기본 행연산이 적용된 모든 행렬은 행동치 행렬이다.

■ 예를 들어, 다음과 같이 3차원에서 미지수가 3개인 연립방정식을 가우스 조르단 소거법을 이용해 풀어보자.

- 마찬가지로 연립일차방정식의 해가 \( z = -5, y = -3 ,x = 2\)임을 알 수 있다.

■ 연립일차방정식을 푸는 일반적인 해법은 연립일차방정식을 확대행렬 \( (A \mid B) \)로 변환한 뒤, 위의 가우스 소거법이나 가우스 조르단 소거법을 이용해서 행사다리꼴이나 기약 행사다리꼴을 구하고, 역 대입으로 연립일차방정식의 해를 구하는 것이다.

 

cf)  연립일차방정식과 Rank

■ 확대행렬을 기약 행사다리꼴로 만들었을 때, 선행 성분의 개수가 rank가 된다. 

- 선행 성분의 개수는 행렬에서 0이 아닌 줄의 개수로 볼 수 있는데,

- 행렬의 한 행이 0이라는 것은 다른 행과 종속된다는 것을 의미한다.

■ 또한, 미지수가 \( n \)개인 (1) 연립일차방정식이 유일한 해를 갖거나, (2) 무수히 많은 해를 갖거나, (3) 해를 갖지 않을 때, 연립일차방정식을 행렬로 표현하면 연립일차방정식의 근(해)과 계수(rank)와의 관계는 다음과 같다.

[출처] Augmented Matrix - Method, Examples, Meaning ❘ Solve Augmented Matrix

- (1) \( rank A < rank(A \mid B) \)이면 근(해이 존재하지 않는다.

- (2) \( rank A = rank(A \mid B) = n \)이면 근(해)이 오직 하나 존재한다.(유일한 해를 갖는다.)

- (3)  \( rank A = rank(A \mid B) < n \)이면 무수히 많은 근(해)을 갖는다.

-- 여기서 \( n \)은 미지수 개수

- (2)와 (3)인 경우만 해가 존재할 조건으로 볼 수 있다.

- 예를 들어, 위의 기약 행사다리꼴 예는 \( rank A = rank(A \mid B) = n \)이므로 유일한 해를 갖는다.

 

4. 행렬식

■ \( n \times n \) 행렬에 수를 대응시키는 함수로서 몇 가지 성질을 만족하는 함수를 행렬식이라고 한다. Determinant라고 읽으며 \( \text{det} A \) 또는 \( |A| \)로 나타낸다.

■ \( 2 \times 2 \)와 \( 3 \times 3 \) 행렬식을 계산하는 방법은 다음과 같다.

4.1 행렬식의 성질

■ 행렬식의 성질은 다음과 같다.

- (1) 두 개의 행(또는 열)을 바꾸면, 행렬식 값은 부호만 바뀐다.

- (2) 하나의 행(또는 열)에 실수를 곱하여 다른 행(또는 열)에 더하거나 빼도, 행렬식의 값은 변하지 않는다.

- (3) 두 개의 행(또는 열)이 비례 관계이면 행렬식 값은 항상 0이다.

- cf) 행렬의 한 행의 성분이 모두 0이면 행렬식 값은 항상 0이다.

- (4) 하나의 행(또는 열)에 있는 공통 인수는 행렬식 밖으로 묶어낼 수 있다. 반대도 성립한다.

- cf) 행렬에서는 모든 원소에 공통 인수가 있어야 행렬 밖으로 공통 인수를 밖으로 묶어낼 수 있다.

- (5) \( \text{det} (kA) \) = \( k^n \text{det}(A) \), \( k \)는 스칼라

- (6) \( \text{det} (AB) \) = \( \text{det}(A) \text{det}(B) \)

- (7) \( \text{det} (A^n) = \text{det} (A)^n \)

- (8) \( \text{det} (A) = \text{det} (A^T) \)

cf) 행렬식 성질 중에 \( \det(AB) = \det(A) \det(B) \) 이 성질을 이용하면 역행렬을 갖는 행렬 \( A \)에 대해 \( \det(A^{-1}) = \det(A)^{-1} \)가 됨을 알 수 있다. 

 

4.2 행렬식 라플라스 전개

■ \( n \times n \) 행렬의 행렬식은 라플라스 전개로 구한다.

■ 라플라스 전개란 임의의 하나의 행이나 열을 택하여 각 원소와 그 원소의 여인수를 곱하여 모두 더한다. 여인수란 선택한 원소가 위치한 행과 열의 원소들을 제외한 나머지 원소들의 행렬식 값을 의미한다. 또한, 각 원소의 부호는 \( (-1)^{i + j} \)이다.